2021 年的卷子别翻开前先看答案，那玩意儿没得看。 数学这一章是考研的硬骨头，一上来就让你对着坐标系哭，坐标轴画歪了，哪位跟你讲几何意义？ 2021 年 10 月 23 日，考研数学力学组考了，物理组也考。

这一套卷子，像是把数学院的日常教材和竞赛题揉混在一起了。 看力学理一第 2 题，那个弹簧振子，画的那种图看着就头大。两个质点，质量比 2:1，初速度一个是 $v_0$ 一个是 $0$。难题是求运动方程。 我不看答案，我自己解了。

第一步列微分方程，第二步求通解，第三步定常积分。解出来是 $x(t) = Asin(omega t) + Bcos(omega t)$。

这里有个小坑，题目给的是初速度，不是初位置。大量人一上来就套公式 $x_0 = x(0)$，结局算出来系数不对。

这题考的不是算法，是你对物理本质的直觉。$v_x(0) = omega(Acos(0) - Bsin(0)) = omega A$。

故此 $A = v_0/omega$。

这个逻辑链务必得捋得清，别被公式卡住。 再看物理，这题也没啥难度，只是略微有点恶心人。一个是重力势能，一个是动能，两个能量守恒方程联立，解出两个位置。别看做法熟，但读起来像在读判决书。真正的难点在力学里，特别是第二问，那个四个质点互相碰撞的模型。 这题归于那种让你晕的题。

你看着图，感觉脑子里能飞出一条线，线一飞走，你就知道该干嘛，干嘛干嘛，再干嘛，最终发现全乱了。 我略微总结一下，这题的核心是动量守恒和能量守恒。别看平时老师教完就让你背公式，但遇到这种连环碰撞，你得先拆解阶段。

第一阶段两个球撞，动量守恒算出速度。

第二阶段又撞，又算。别慌，只要抓住“质量相等、弹性碰撞”这个结论，速度就变了方向要么大小了，规律就出来了。 说到数据，这题里涉及到的碰撞次数大量。

要是不算出每一个碰撞前后的速度，整个系统就像一只仓鼠在乱窜。

比如 Ball 4 和 Ball 5 撞，再和 Ball 3 撞，最终剩下一堆。

这个过程就像你在解一个庞大的方程组，变量有位置、动量，就连速度。 你看图，Ball 1 和 Ball 2 初始位置挺近，$x_1 = x_2$。但下一秒它们就撞了。

这不仅是数学题，是物理实验的模拟版。

要是你真要做这个，可能需求高速摄像机，要么起码得算出碰撞前的精确位置。

哪怕只有一点点误差，后面的连锁反应就全毁了。 我强烈推荐你去问老师，要么把图发在网上找大神解。别自己硬啃，好办把自己绕晕。但要是你非要啃，就得学会“化繁为简”。 比如第二问的四个球，你不需求把每个球的轨迹都画在图上。你能够按工夫顺序列方程。设 $t_1$ 为第一次碰撞时刻，$t_2$ 为第二次，以此类推。 $A(t_1)$ 是 $t_1$ 时刻的位置，$B(t_1)$ 是动量。

第一次碰撞后，$t_1$ 之后，$C$ 球和 $D$ 球就自由运动了。$C$ 球从 $t_1$ 到 $t_2$ 匀速运动。$D$ 球呢？它在 $t_1$ 时刻被撞，速度变了，故此 $t_1$ 到 $t_2$ 这一段，$D$ 球是匀变速运动。 这时候就要启动拼凑了。$C$ 球在 $t_1$ 时速度是 $v_C(t_1)$，在 $t_2$ 时速度是 $v_C(t_2)$。$D$ 球在 $t_1$ 时速度是 $v_D(t_1)$，在 $t_2$ 时速度是 $v_D(t_2)$。 $v_C(t) = v_C(t_1) + a_C (t - t_1)$。 $v_D(t) = v_D(t_1) + a_D (t - t_1)$。 然后算距离。$x_C(t) = x_C(t_1) + v_C(t_1)(t-t_1) + frac{1}{2}a_C(t-t_1)^2$。$x_D(t)$ 同理。 把这些表达式代入碰撞条件，列方程。就是让 $x_C(t_2) = x_D(t_2)$，$v_C(t_2) = v_D(t_2)$。 这是一个关于 $t_2$ 的方程。解出来 $t_2$，你就有了整个过程的描述。 实际上这道题的精髓在于，你不需求算出所有细节。你只需求找出哪些物体最终会相遇，要么在特定工夫位置重合。 数学里总有一个“泰勒展开”要么“收敛”的概念。但在物理题里，有时候好办粗暴的“物理极限”就够了。

比如 $t to t_0$，速度差趋于某个值，位置差趋于某个值。 这题要是做错了，一般不是出于公式不会用，而是出于没理清楚物理过程。就像你背熟了公式，一做题就愣住，不知道下一步该干嘛。 考研数学，靠背公式是过不了场的。你得会“翻译”。把物理过程翻译成数学语言，再把数学语言翻译成物理景象。 比如这个难题，你能够这样想： 1.把四个球变成一条工夫轴上的点。 2.在点之间画线，代表碰撞。 3.线折起来，就是速度突变。 4.最终剩下一条线，代表剩下的运动。 只要你能看懂这个“折线图”，你就懂了这道题。 故此，别被那些复杂的符号吓到。符号只是语言的符号，不是障碍。 要是真遇到这种题，就深呼吸。先别急着套公式。先问自己：形成了啥？撞了吗？撞得狠不狠？人和人之间有没有特别的关系（比如质量、速度差）？ 把这些关系理清了，答案自然就出来了。 2021 年的卷子，看着挺难，实际上只要逻辑通顺，不难。难点在于你不敢动笔，要么动笔忒慢。 总而言之，数学不是死记硬背的。它是思维的体操。

这些题，磨练的就是你理清混乱、抓住重点的本事。 能看懂图，能列方程，能套公式。

这就够稳了。剩下的，就是心态。 别焦虑，别慌。保持节奏，一步步来。 （完）