2020 年的数学一，实际上和以往不一样，官方给的定义是“考研数学一”。但仔细看看目录，你会发现它全是经典的函数、极限、导数、微分，再加上高数里的积分、无穷级数、多元微积分。就连讲导数时，只写了“局部单值连续”，没写具体是连续还是可导。

这就像平时考试只看个大约，真要考你就得深扒。

故此，考试的时候，你赶明儿看到的目录就是“函数与极限”、“一元微积分”、“二重积分”、“曲线与曲面的积分”、“向量代数与空间解析几何”、“多元微积分”、“无穷级数”、“常微分方程”、“非线性方程”。 咱把重点放在最终面，向量代数与空间解析几何，出于这局部在数学里有点意思。

比如求向量定义的直线方程，要么求点到直线的距离。

这里有个小题目，x 轴和直线 y = x + 1 的距离是 1。

这题不算难，但在考场上，学生好办把 x 轴当成原点，然后直接算距离，结局全错了。

这道题就考了这个坑。再比如空间直角坐标系的方程，写成了 $frac{x}{1} + frac{y}{2} + frac{z}{3} = 1$，这实际上是错的，对的得写成 $frac{x}{1} + frac{y}{2} + frac{z}{3} = 1$ 之类的形式，要么更标准的 $frac{x}{1} + frac{y}{2} + frac{z}{3} = 1$。

这里有个细节：分母要是 1 就写成 1，不能写成 1/1。 再说多元微积分。目前大学课本上都讲偏导、全微分。但在考研，老师略微搞点花样，比如写出“偏导数”后面的内容，然后让你写“全微分”的定义，你要是只写出偏导数的公式，全微分就写不出来，出于定义里得说“在某点附近”。

这里有个概念，偏导数全微分，这俩是有联系的。全微分 $dz = dx cdot frac{partial z}{partial x} + dy cdot frac{partial z}{partial y}$。

这题考的是如何把偏导数公式套进去。

比如求函数 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分。

这道题的数据有点硬，x 的偏导数是 2x，在 1 处是 2。y 的偏导数是 2y，在 2 处是 4。代入公式就是 $dz = 2 dx + 4 dy$。 再看曲线积分。曲线积分是重积分在二维的延伸。

比如计算 $int_{Gamma} z dx$，其中 $Gamma$ 是平面区域 D 的边界。D 是 $x^2 + y^2 le 1$。

这里有个小陷阱：积分方向。

要是是好办闭曲线，顺时针走，积分是负值；逆时针走，正值。

这道题考的就是这个方向。再比如含参变量曲线积分，比如 $int_{alpha}^{beta} f(x, t) dx$。

这里的参数是 t，积分变量是 x。

这时候得注意，积分上下限是 x 的函数，不是 t。

比如 $int_0^1 (1-t) dt$。

这道题的数据挺具体，t 从 0 变到 1，x 从 0 变到 1。 高数里的积分局部，重点在二重积分。

比如计算 $iint_D xy dsigma$，其中 D 是 $x^2 + y^2 le 1$。

这时候得用极坐标。$x = r cos theta, y = r sin theta$。积分区域是 $0 le r le 1, 0 le theta le pi/2$。

这时候 $xy$ 变成 $r^2 cos theta sin theta$。积分限也得变，r 从 0 到 1，θ 从 0 到 π/2。最终算出来是 $frac{1}{3}$。 再讲讲无穷级数。

比如 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$。

这是巴塞尔难题，答案实际上是个具体的数字，等于 $frac{pi^2}{6}$。

这题考的就是如何算这个和。

还有调和级数的发散难题。

比如 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$，这个发散了。

这道题的数据挺直接，n 从 1 到无穷。 最终，常微分方程。

比如求 $frac{dy}{dx} = xy + 1$。

这时候得用一阶线性方程的公式，积分因子是 $e^{-x^2/2}$。

要么用猜特解。

比如设 $y = Ax$，代入后解出 A。

这道题的数据是 $frac{dy}{dx} = xy$，初值条件 $y(0) = 1$。解出来是 $y = Ce^{x^2/2}$，代入得 $C = e^0 = 1$，故此 $y = e^{x^2/2}$。 非线性方程。

比如 $x^3 - 3x + 1 = 0$。

这题考的是如何解这个三次方程。能够用试根法，x=1 不中，x=-1 不中，x=0.5 可能？

要么用数值逼近法。

这道题的数据比较特殊，x=1 时左边是 -1，x=2 时是 5，中间肯定有个根。 总而言之，2020 年的数学一，实际上就是把高等数学的所有核心知识点，按照官方目录顺序，再结合一些具体的计算题和数据，给考生们的一次“压力测试”。别把这当成好办的复习，要当成来一场真正的考试。