函数、极限与连续

占比约12%，选择题+填空题为主，常与微分结合命题。

• 极限计算（洛必达、泰勒展开、等价无穷小）
• 间断点类型判断（可去、跳跃、无穷、振荡）
• 连续性与可导性关系（如 |x| 在 x=0 处连续但不可导）
• 闭区间上连续函数性质（最值、介值定理）

元函数微分学

占比约18%，是2020 数二考研大纲的绝对核心。

• 导数定义应用（如 f′(0) 存在 ⇒ f(x) 在 0 处连续）
• 隐函数、参数方程求导（近年真题高频）
• 微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）证明题常客
• 导数应用：单调性、凹凸性、拐点、渐近线

元函数积分学

占比约16%，计算题+证明题并重。

• 不定积分（换元、分部积分，如 ∫e^xcosx dx）
• 定积分计算与性质（对称性、周期性）
• 变上限积分求导（如 d/dx ∫₀ˣ (x−t)f(t)dt）
• 定积分应用：面积、体积、物理应用（功、压力）

多元函数微分学

占比约12%，近年难度提升，侧重“手感”与“直觉”。

• 偏导数与全微分计算（注意复合函数链式法则）
• 方向导数与梯度（2019年真题第15题）
• 多元函数极值（拉格朗日乘数法、无条件/有条件极值）
• 重积分计算（直角坐标、极坐标，交换积分次序）

微分方程

占比约10%，以计算为主，是“送分题”重灾区。

• 可分离变量、齐次、线性、伯努利方程
• 高阶线性微分方程（特征方程法）
• 欧拉方程（x²y″+axy′+by=0）
• 微分方程的几何应用（如曲线切线问题）

矩阵与线性方程组

占比约14%，线性代数核心，命题稳定。

• 矩阵运算（乘法、逆、伴随、转置）
• 行列式计算（按行/列展开、性质化简）
• 向量组线性相关性（秩、极大无关组）
• 线性方程组解的结构（有解判定、通解求法）

特征值与特征向量

占比约8%，证明题与计算题并重。

• 特征值/向量的定义与性质（Aα=λα）
• 相似矩阵与对角化（A=P⁻¹BP ⇒ A与B有相同特征值）
• 实对称矩阵的相似对角化（必可对角化）
• 抽象矩阵特征值求解（如已知A²=A，求λ）

概率统计

占比约10%，重基础、轻推导，以计算为主。

• 随机事件概率（古典概型、条件概率、贝叶斯公式）
• 维随机变量分布（离散型：0-1、二项、泊松；连续型：均匀、指数、正态）
• 维随机变量（联合分布、边缘分布、独立性）
• 数字特征：期望、方差、协方差、相关系数

误区1：混淆“极限存在”与“函数值存在”

典型题：设 f(x) = { sinx/x, x≠0; a, x=0 }，问a为何值时f(x)在x=0连续？

错误思路：直接令f(0)=a，忽略极限计算；或误认为sinx/x在x=0无定义 ⇒ 极限不存在。

正确解法：lim_x→0 sinx/x = 1，故a=1。连续需满足lim f(x)=f(0)，二者缺一不可。

误区2：忽略“导数定义”的适用条件

典型题：f(x)=|x|，问f′(0)是否存在？

错误思路：直接求导得f′(x)=1（x>0）或-1（x<0），误认为“分段点导数必不存在”。

正确解法：用定义计算左右导数：f₊′(0)=lim_h→0⁺ (|h|-0)/h =1；f₋′(0)=lim_h→0⁻ (|h|-0)/h =-1。左右导数不等 ⇒ 不可导。

误区3：二重积分交换次序时区域画错

典型题：交换积分次序 ∫₀¹ dy ∫ᵧ¹ f(x,y)dx

错误思路：直接将x,y互换，得 ∫₀¹ dx ∫₀ˣ f(x,y)dy（看似合理，实为错误）。

正确步骤：原区域D={(x,y)|0≤y≤1, y≤x≤1} ⇒ 画图得0≤x≤1, 0≤y≤x ⇒ 正确结果为 ∫₀¹ dx ∫₀ˣ f(x,y)dy。关键：先画图，再写限！

误区4：线性方程组解的结构判断失误

典型题：Ax=b有解 ⇔ r(A)=r(A|b)；Ax=0有非零解 ⇔ r(A)

错误思路：将“Ax=b有唯一解”误记为r(A)=r(A|b)=n（正确），但对“无穷多解”条件混淆（应为r(A)=r(A|b)

记忆口诀：“有解看秩等，唯一看秩满；无穷多解时，秩小于未知数个数n”。

误区5：概率题混淆“分布函数”与“概率密度”

典型题：X~N(0,1)，Y=X²，求Y的分布函数F_Y(y)。

错误思路：直接套用Y=X²的密度函数公式 f_Y(y)=f_X(√y)/(2√y) + f_X(-√y)/(2√y)，忽略y≥0的定义域。

正确解法：F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)。当y<0时，F_Y(y)=0；当y≥0时，F_Y(y)=P(-√y≤X≤√y)=Φ(√y)-Φ(-√y)。再求导得密度函数。