考研数学一高数范围-考研数学一高数范围｜系统化精讲+避坑指南

✅ 典型例题：2022年真题第19题

设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)=f(1)=0，且存在c∈(0,1)使f(c)＞0。证明：存在ξ∈(0,1)使f''(ξ)＜0。

证明：  由f(c)＞0及f(0)=f(1)=0，知f(x)在[0,c]、[c,1]上均不恒为0  设M = maxx∈[0,1] f(x) > 0，设x₀为最大值点（x₀∈(0,1)）  由费马定理，f'(x₀)=0  对f'(x)在[0,x₀]、[x₀,1]上分别用拉格朗日中值定理：
   ∃ξ₁∈(0,x₀), f''(ξ₁) = [f'(x₀)-f'(0)]/(x₀-0) = -f'(0)/x₀
   ∃ξ₂∈(x₀,1), f''(ξ₂) = [f'(1)-f'(x₀)]/(1-x₀) = f'(1)/(1-x₀)  若f'(0)≥0且f'(1)≤0，则f''(ξ₁)≤0或f''(ξ₂)≤0
   若f'(0)<0，则f''(ξ₁)<0；若f'(1)>0，则f''(ξ₂)<0
   综上，必存在ξ使f''(ξ)<0

✅ 典型例题：2024年真题第16题

求曲线y = √(1 - x²)与x轴围成图形绕y轴旋转所得旋转体体积。

解：曲线为上半单位圆，方程x² + y² = 1 (y≥0)
用柱壳法：V = 2π∫₀¹ x·√(1 - x²) dx
令u = 1 - x², du = -2x dx
= 2π ∫₁⁰ √u · (-du/2) = π ∫₀¹ u^{1/2} du
= π · [ (2/3)u^{3/2} ]₀¹ = 2π/3

易错点：误用圆盘法（需解出x=√(1-y²)，积分∫₀¹ π(√(1-y²))² dy），但柱壳法更直接

✅ 典型例题：2021年真题第1题

函数f(x,y) = x² + y²在点(1,1)处沿方向l = (cosα, cosβ)的方向导数最大时，cosα = ______。

解：方向导数 = ∇f · e_l = (2x, 2y) · (cosα, cosβ)
= 2x cosα + 2y cosβ
在(1,1)处：2cosα + 2cosβ
约束条件：cos²α + cos²β = 1
由柯西不等式，最大值为√(2²+2²) = 2√2，当(cosα, cosβ) ∥ (2,2)
即cosα = cosβ = √2/2

✅ 典型例题：2023年真题第5题

计算∬_D (x² + y²) dxdy，其中D由x² + y² ≤ 2x确定。

解：D为圆(x-1)² + y² ≤ 1
转换为极坐标：x = r cosθ, y = r sinθ
x² + y² = r², 且r² ≤ 2r cosθ ⇒ r ≤ 2cosθ
θ范围：-π/2 ≤ θ ≤ π/2
原式 = ∫_{-π/2}^{π/2} ∫₀^{2cosθ} r² · r dr dθ
= ∫_{-π/2}^{π/2} [r⁴/4]₀^{2cosθ} dθ = ∫_{-π/2}^{π/2} 4cos⁴θ dθ
利用cos⁴θ = (3 + 4cos2θ + cos4θ)/8
= 4 · ∫_{-π/2}^{π/2} (3 + 4cos2θ + cos4θ)/8 dθ
= (1/2) · [3θ + 2sin2θ + (1/4)sin4θ]_{-π/2}^{π/2} = (1/2)·3π = 3π/2

✅ 典型例题：幂级数求和

求幂级数∑_{n=1}^∞ n x^{n-1} 的和函数S(x)。

解：注意到∑_{n=0}^∞ x^n = 1/(1-x) (|x|<1)
两边求导：∑_{n=1}^∞ n x^{n-1} = 1/(1-x)²
∴ S(x) = 1/(1-x)², |x|<1

拓展：若求∑_{n=1}^∞ n x^n，则乘以x得x/(1-x)²

✅ 典型例题：欧拉方程

求解x²y'' + 3xy' + y = 0 (x>0)。

解：令x = e^t ⇒ t = lnx
则dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = y'/x
d²y/dx² = (y''/x²) - (y'/x²)
代入原方程：x²[(y'' - y')/x²] + 3x(y'/x) + y = 0
⇒ y'' - y' + 3y' + y = 0
⇒ y'' + 2y' + y = 0
特征方程：r² + 2r + 1 = 0 ⇒ r = -1 (二重根)
通解：y = (C₁ + C₂ lnx) e^{-lnx} = (C₁ + C₂ lnx)/x