2014 年考研数二真题，别整那些“起初其次最终”的套话，像聊家常一样把思路理出来。

那天下午做选择题，卷子发下来，心里直发虚。题目看着挺好办，那就按部就班地演吧，反正选择题就是先碰壁，再回头琢磨。 第一道大题，选填的局部像走钢丝。坐标系那题，$z = x^2 + y^2$，画个草图就明白了，是个旋转半径的圆。最坑的是极坐标那环，$x = rcostheta, y = rsintheta$。

这里得自己记点式子，别硬套公式，不然到时候查表就翻车了。积分计算阶段，手一抖，$r dr$ 和 $dtheta$ 的系数忘掉了，最终结局是 $frac{1}{3}r^3$，算错了，这题就废了。 解答题的第一问，那是真·降维打击。题目让求二重积分 $iint_D (x^2 + y^2) dx dy$，区域 $D$ 是个椭圆 $4x^2 + y^2 le 1$。我直接在椭圆里设参数，$x = frac{1}{2}cos t, y = sin t$，代入算出 $dx dy$ 如何变，最终把积分转到 $t$ 上。过程写长了，但逻辑清楚，最终算出来是 $frac{2}{15}$。

这种题最怕就是算不出面积要么被边界搞晕，只要参数换得对，积分换得稳，总能硬磕那会儿。 第二问的向量空间题，看着就眼熟。$mathbb{R}^3$里的三个向量，线性相关性一眼能看出来，要么张成个平面，要么就是原点。

这里让我给个具体的例子，向量组 $alpha_1, alpha_2, alpha_3$ 在 $mathbb{R}^3$ 里，要是前两个线性无涉，第三个向量要是能写成前两个的线性组合，那它们整体就是线性相关的；否则就无涉。举个具体的数字例子：设 $alpha_1 = (1, 0, 0), alpha_2 = (0, 1, 0), alpha_3 = (0, 0, 1)$，这三者显然无涉，出于它们没法凑成零向量。

这种题实际上就在考你会不会把定义降回去，别死磕矩阵的行列式，直接看几何意义往往更快。 解答题第二问，讲的是微分方程的特解。方程是 $y'' + y = tan x$。先求齐次通解 $y_h = c_1 cos x + c_2 sin x$。非齐次项是 $tan x$，这个函数在 $x=kpi$ 处有定义间断点，但区间 $(0, pi)$ 内是连续的。用常数变易法，设特解 $y_p = u(x)cos x + v(x)sin x$，然后算出一堆 $u' cos x + u sin x$ 和 $v' sin x + v cos x$ 的表达式。

这里好办出错的地方在于对乘积求导的公式记混了，要么积分算错。

好在最终代入 $x=0$ 求常数 $c_1, c_2$ 的时候，发现 $u(0)$ 和 $v(0)$ 都能算出来，特解结构也就出来了。 解答题第三问，求极限。$lim_{x to 0} frac{sin 3x - 3sin x}{x^3}$。直接用洛必达法则，分子分母与此同时求导，一导又变复杂了，不过再求一次，分母变成 $x^2$，分子变成 $3cos 3x - 3cos x$。

这时候再试一次，分母没了，分子是 $-3sin x + 9sin 3x$，还是得回代。整个过程实际上挺折磨人的，特别是前两步的代数运算，略微有一笔少，后面全炸了。但想到这题考的是极限的根本操作，反而认定有点意思。 大题第四问，求级数。$sum_{n=1}^infty frac{n^2}{n!} x^n$。先算系数 $a_n = frac{n^2}{n!}$，然后求 $limsup |a_n|$。当 $n$ 挺大时，$n!$ 会飞快爆炸，分子 $n^2$ 不过是平方数，故此极限是 0。根据比值判别法，$lim frac{a_{n+1}}{a_n} = lim frac{(n+1)^2}{(n+1)!} cdot frac{n!}{n^2} = lim frac{1}{n+1} = 0$。

既然比值是 0，那收敛半径是无穷大，级数在整个实数轴上都收敛。

这题实际上就给了个提示，不用硬算通项，直接看 $a_n$ 的趋势就行。 最终这一题，求逆矩阵。给定一个 $3 times 3$ 的矩阵，求它的逆。

这得用伴随矩阵，也就是 $A^{-1} = frac{1}{|A|} text{adj}(A)$。行列式算出来是个好办的数，比如 6。

接着求代数余子式 matrix $A_{ij}$，这又得去翻书背公式，好在考场上一眼就能认出。

然后每个代数余子式转置，成为 cofactor matrix。最终相乘除以行列式，就能拿到结局。最让我头疼的是二阶余子式里那个 $1$ 的位置，有时候想反了，算出来矩阵元素不对。 整场考试下来，感觉就是做题了。考二不考文采，考的是哪位算得快，哪位记得牢，哪位在关键时刻能稳住心态。

那些“第一、第二、第三”的题，实际上都是考根本功，把公式背熟，把逻辑理清，然后按顺序去填，往往就能得分。解答题更看重那种把长难难题一步步拆解的本事，不是靠灵光一闪，而是靠一步步的推导，把中间那些烦人的公式算对，把边界条件理清楚。 考试终止，翻看错题本，发现好多地方是出于没看清题设条件而错，要么是出于中间某一步符号弄错了。数二别看不像数学三那样偏理论，但计算量确实不小，耐心点，别被那些繁琐的代数运算吓倒。毕竟人生长得挺慢，数学题的推导过程实际上也不慢，慢慢来，别急。