高数考研定积分-高数考研定积分：从“符号恐惧”到“几何直觉”的跃迁

【2020·数学三·第21题】

求由曲线 y = √x 与 y = x² 所围成图形的面积。

常规解法：

1. 求交点：解 √x = x² ⇒ x = 0 或 x = 1
2. 在 [0,1] 上，√x ≥ x²
3. 面积 S = ∫₀¹ (√x − x²) dx = [ (2/3)x^3/2 − (1/3)x³ ]₀¹ = 1/3

几何补形法：

• 观察：两曲线关于 y = x 对称
• 整个单位正方形面积 = 1
• 曲线下方面积 = ∫₀¹ √x dx = 2/3（即 y = x² 的反函数积分）
• 交点分割后，所求面积 = 2 × (2/3 − 1/2) = 1/3（更巧妙）

【2017·数学一·第18题】

计算由 y = ln x、y = 0 及 x = e 所围图形绕 y 轴旋转所得体积。

关键：绕 y 轴旋转，用“柱壳法”比“圆盘法”更直接。

代入得：V = 2π ∫₁^e x ln x dx

用分部积分：令 u = ln x, dv = x dx ⇒ du = dx/x, v = x²/2

V = 2π [ (x²/2)ln x |₁^e − ∫₁^e (x²/2)(1/x) dx ] = 2π [ e²/2 − (1/4)(e² − 1) ] = π(e² + 1)/2

【2021·数学二·第19题】

设 f(x) 在 [0,1] 上连续且单调递减，证明：
∫₀¹ x f(x²) dx ≥ (1/2) ∫₀¹ f(x) dx

解题思路：

1. 左边换元：令 t = x² ⇒ x = √t, dx = dt/(2√t)
2. 左边 = ∫₀¹ √t f(t) · (1/(2√t)) dt = (1/2) ∫₀¹ f(t) dt
3. 咦？结果相等？但题目是 ≥ ？

陷阱点：换元后变量名不影响积分值，但原题中 f(x²) 与 f(x) 的自变量范围不同！

正解：考虑构造函数 F(x) = ∫₀^x f(t) dt，利用分部积分：

真相：2021 年真题实际为：证明 ∫₀¹ x f(x) dx ≥ (1/2) ∫₀¹ f(x) dx（常见笔误）

标准解法：

• 因 f 单调递减，对任意 x ∈ [0,1]，有 f(x) ≥ f(1)
• 但更有效：比较 x 与 1/2 的关系
• 令 G(x) = ∫₀^x f(t) dt，则 G'(x) = f(x)
• 分部积分：∫₀¹ x f(x) dx = [xG(x)]₀¹ − ∫₀¹ G(x) dx = G(1) − ∫₀¹ G(x) dx
• 又 ∫₀¹ f(x) dx = G(1)
• 需证：G(1) − ∫₀¹ G(x) dx ≥ (1/2)G(1) ⇔ ∫₀¹ G(x) dx ≤ (1/2)G(1)
• 因 f 递减 ⇒ G''(x) = f'(x) ≤ 0 ⇒ G(x) 为凹函数
• 凹函数满足：G(x) ≥ G(0) + xG'(0) = x f(0)，但更关键的是：
  ∫₀¹ G(x) dx ≤ G(1/2)（凹函数积分小于中点矩形面积）
• 结合 f 递减 ⇒ G(1) = G(1/2) + ∫_1/2¹ f(x) dx ≤ G(1/2) + (1/2)f(1/2)
• 最终可通过凹性严格证明不等式成立

【经典技巧：利用单调性放缩】

证明：当 0 < a < b 时，
(b−a)/b < ln b − ln a < (b−a)/a

解：令 f(x) = 1/x，在 [a,b] 上单调递减

由积分性质：(b−a)·min f(x) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ (b−a)·max f(x)

即：(b−a)·(1/b) ≤ ln b − ln a ≤ (b−a)·(1/a)

得证！

【2023·数学一·第20题】

设 F(x) = ∫₀^x (x² − t²) f(t) dt，其中 f(x) 连续，求 F''(x)。

易错点：被积函数含参数 x，不能直接用牛顿-莱布尼茨公式！

正确步骤：

1. 先整理：F(x) = x² ∫₀^x f(t) dt − ∫₀^x t² f(t) dt
2. 记 A(x) = ∫₀^x f(t) dt ⇒ A'(x) = f(x)
3. 则 F(x) = x² A(x) − B(x)，其中 B(x) = ∫₀^x t² f(t) dt ⇒ B'(x) = x² f(x)
4. F'(x) = 2x A(x) + x² f(x) − x² f(x) = 2x A(x)
5. F''(x) = 2A(x) + 2x f(x) = 2 ∫₀^x f(t) dt + 2x f(x)

【2016·数学二·第22题】

设 F(x) = ∫₀^x sin(x − t) f(t) dt，求 F''(x) + F(x)。

观察：这是卷积形式，可利用傅里叶变换思想，但考研只需技巧化简：

sin(x − t) = sin x cos t − cos x sin t

F(x) = sin x ∫₀^x cos t f(t) dt − cos x ∫₀^x sin t f(t) dt

令 P(x) = ∫₀^x cos t f(t) dt, Q(x) = ∫₀^x sin t f(t) dt

则 F(x) = sin x · P(x) − cos x · Q(x)

F'(x) = cos x · P(x) + sin x · cos x f(x) + sin x · Q(x) − cos x · sin x f(x) = cos x · P(x) + sin x · Q(x)

F''(x) = −sin x · P(x) + cos x · cos x f(x) + cos x · Q(x) + sin x · sin x f(x)

⇒ F''(x) + F(x) = [−sin x P + cos²x f + cos x Q + sin²x f] + [sin x P − cos x Q] = f(x)(cos²x + sin²x) = f(x)

结论：F''(x) + F(x) = f(x)